top of page

Найдавнішою математичної діяльністю був рахунок. Рахунок був необхідний, щоб стежити за поголів'ям худоби і вести торгівлю. Деякі первісні племена підраховували кількість предметів, зіставляючи їм різні частини тіла, головним чином пальці рук і ніг. Наскальний малюнок, що зберігся до наших часів від кам'яного століття, зображає число 35 у вигляді серії збудованих в ряд 35 паличок-пальців. Першими істотними успіхами в арифметиці стали концептуалізація числа і винахід чотирьох основних дій: складання, віднімання, множення і ділення. Перші досягнення геометрії пов'язані з такими простими поняттями, як пряма і коло. Подальший розвиток математики почалося приблизно в 3000 до н.е. завдяки вавилонянам і єгиптянам. 

1. ГРЕЦЬКА МАТЕМАТИКА

Класична Греція. З точки зору 20 ст. родоначальниками математики з'явилися греки класичного періоду (6-4 ст. до н.е.). Математика, що існувала в більш ранній період, була набором емпіричних висновків. Навпаки, в дедуктивному міркуванні нове твердження виводиться з прийнятих посилок способом, що виключає можливість його неприйняття. 
Наполягання греків на дедуктивному доказі було екстраординарним кроком. Жодна інша цивілізація не дійшла до ідеї отримання висновків виключно на основі дедуктивного міркування, що виходить з явно сформульованих аксіом. Одне з пояснень прихильності греків методам дедукції ми знаходимо в пристрої грецького суспільства класичного періоду. Математики і філософи (нерідко це були одні й ті ж особи) належали до вищих верств суспільства, де будь-яка практична діяльність розглядалася як негідне заняття. Математики воліли абстрактні міркування про числа і просторових відносинах вирішенню практичних завдань. Математика ділилася на арифметику - теоретичний аспект і логістику - обчислювальний аспект. Займатися логістикою надавали вільнонароджені нижчих класів і рабам. 
Грецька система числення була заснована на використанні букв алфавіту. Аттична система, яка була в ходу з 6-3 ст. до н.е., використовувала для позначення одиниці вертикальну риску, а для позначення чисел 5, 10, 100, 1000 і 10 000 початкові букви їх грецьких назв. В більш пізній ионической системі числення для позначення чисел використовувалися 24 літери грецького алфавіту і три архаїчні літери. Кратні 1000 до 9000 позначалися так само, як перші дев'ять цілих чисел від 1 до 9, але перед кожною буквою ставилася вертикальна риса. Десятки тисяч позначалися літерою М (від грецького міріоі - 10 000), після якої ставилося те число, на яке потрібно було помножити десять тисяч.

Дедуктивний характер грецької математики повністю сформувався до часу Платона і Аристотеля. Винахід дедуктивної математики прийнято приписувати Фалесу Мілетському (бл. 640-546 до н.е.), який, як і багато давньогрецькі математики класичного періоду, був також філософом. Висловлювалося припущення, що Фалес використовував дедукцію для доказу деяких результатів у геометрії, хоча це сумнівно. 
Іншим великим греком, з чиїм ім'ям пов'язують розвиток математики, був Піфагор (бл. 585-500 до н.е.). Вважають, що він міг познайомитися з вавілонської і єгипетської математикою під час своїх довгих мандрівок. Піфагор заснував рух, розквіт якого припадає на період бл. 550-300 до н.е. Піфагорійці створили чисту математику у формі теорії чисел і геометрії. Цілі числа вони представляли у вигляді конфігурацій з точок або камінчиків, класифікуючи ці числа у відповідності з формою виникають фігур («фігурні числа»). Слово «калькуляція» (розрахунок, обчислення) бере початок від грецького слова, що означає «камінчик». Числа 3, 6, 10 і т.д. піфагорійці називали трикутними, так як відповідне число камінчиків можна розташувати у вигляді трикутника, числа 4, 9, 16 і т.д. - Квадратними, так як відповідне число камінчиків можна розташувати у вигляді квадрата, і т.д. 

2.СЕРЕДНІ СТОЛІТТЯ І ВІДРОДЖЕННЯ

Середньовічна Європа. Римська цивілізація не залишила помітного сліду в математиці, оскільки була дуже стурбована рішенням практичних проблем. Цивілізація, що склалася в Європі раннього Середньовіччя (бл. 400-1100), не була продуктивною по прямо протилежної причини: інтелектуальна життя зосередилося майже виключно на теології та загробного життя. Рівень математичного знання не піднімався вище арифметики і простих розділів з Почав Евкліда. Найбільш важливим розділом математики в середні віки вважалася астрологія; астрологів називалиматематиками. А оскільки медична практика грунтувалася переважно на астрологічних показаннях або протипоказання, медикам не залишалося нічого іншого, як стати математиками. 
Близько 1100 в західноєвропейській математики почався майже трьохсотлітньої період освоєння збереженого арабами і візантійськими греками спадщини Стародавнього світу і Сходу.

3. ПОЧАТОК СУЧАСНОЇ МАТЕМАТИКИ

Наступ 16 ст. в Західній Європі ознаменувався важливими досягненнями в алгебрі та арифметиці. Були введені в обіг десяткові дроби і правила арифметичних дій з ними. Справжнім тріумфом став винахід у 1614 логарифмів Дж.Непером. До кінця 17 ст. остаточно склалося розуміннялогарифмів як показників ступеня з будь-яким позитивним числом, відмінним від одиниці, в якості підстави. З початку 16 ст. більш широко стали вживатися ірраціональні числа. Б. Паскаль (1623-1662) та І. Барроу (1630-1677), учитель І. Ньютона в Кембріджському університеті, стверджували, що таке число, як  , Можна трактувати лише як геометричну величину. Однак у ті ж роки Р. Декарт (1596-1650) і Дж.Валліс (1616-1703) вважали, що ірраціональні числа припустимі й самі по собі, без посилань на геометрію. У 16 ст. тривали суперечки з приводу законності введення від'ємних чисел. Ще менш прийнятними вважалися виникали при вирішенні квадратних рівнянь комплексні числа, такі як  , НазваніДекартом «уявними». Ці числа були під підозрою навіть у 18 ст., Хоча Л. Ейлер (1707-1783) з успіхом користувався ними. Комплексні числаостаточно визнали тільки на початку 19 ст., Коли математики освоїлися з їх геометричним поданням. 
Досягнення в алгебрі. У 16 ст. італійські математики Н. Тарталья (1499-1577), С. Даль Ферро (1465-1526), ​​Л. Феррарі (1522-1565) і Д. Кардано (1501-1576) знайшли спільні рішення рівнянь третього і четвертого ступенів. Щоб зробити алгебраїчні міркування і їх запис більш точними, було введено безліч символів, у тому числі +, -, ´,  , =,> Та <. Найсуттєвішим нововведенням стало систематичне використання французьким математиком Ф. Вієтом (1540-1603) букв для позначення невідомих і постійних величин. Це нововведення дозволило йому знайти єдиний метод розв'язання рівнянь другого, третього й четвертого ступенів. Потім математики звернулися до рівнянь, ступеня яких вище четвертого.

4. СУЧАСНА МАТЕМАТИКА

Створення диференціального й інтегрального числень ознаменувало початок «вищої математики». Методи математичного аналізу, на відміну від поняття межі, що лежить в його основі, виглядали ясними і зрозумілими. Багато років математики, у тому числі Ньютон і Лейбніц, марно намагалися дати точне визначення поняттю межі. І все ж, незважаючи на численні сумніви в обгрунтованості математичного аналізу, він знаходив все більш широке застосування. Диференціальне і інтегральне числення стали наріжними каменями математичного аналізу, який з часом включив в себе і такі предмети, як теорія диференціальних рівнянь, звичайних і з приватними похідними, нескінченні ряди, варіаційне числення,диференціальна геометрія і багато іншого. Суворе визначення межі вдалося отримати лише в 19 ст. 
Неевклидова геометрія. До 1800 математика лежала на двох «китах» - на числовій системі і евклідової геометрії. Так як багато властивостей числової системи доводили геометрично, евклідова геометрія була найбільш надійною частиною будівлі математики. Тим не менш аксіома про паралельні містила твердження про прямі, що тягнуться у нескінченність, яке не могло бути підтверджено досвідом. Навіть версія цієї аксіоми, що належить самому Евкліду, зовсім не стверджує, що якісь прямі не перетнуться. У ній швидше формулюється умова, при якому вони перетнуться в деякій кінцевій точці. Століттями математики намагалися знайти аксіомі про паралельні відповідну відповідну заміну. Але в кожному варіанті неодмінно, скажімо, когось пробіл. Честь створення неевклідової геометрії випала Н. І. Лобачевському (1792-1856) та Я. Бояї (1802-1860), кожен з яких незалежно опублікував своє власне оригінальне виклад неевклідової геометрії. У їх геометріях через дану точку можна було провести нескінченно багато паралельних прямих. В геометрії Б. Рімана (1826-1866) через точку поза прямою не можна провести ні однієї паралельної. 
 

Абстрактне простір являє собою багато таких «точок» 
Аксіоматичний метод Гільберта увійшов майже в усі розділи математики 20 ст. Однак незабаром стало ясно, що цьому методу притаманні певні обмеження. У 1880-х Кантор спробував систематично класифікувати нескінченні множини (наприклад, множина всіх раціональних чисел, множина дійсних чисел і т.д.) шляхом їх порівняльної кількісної оцінки, приписуючи їм т.зв. трансфінітної числа. При цьому він виявив в теорії множин протиріччя. Таким чином, до початку 20 ст. математикам довелося мати справу з проблемою їх дозволу, а також з іншими проблемами підстав їх науки, такими, як неявне використання т.зв. аксіоми вибору. І все ж ніщо не могло зрівнятися з руйнівним впливом теореми неповноти К. Геделя (1906-1978). Ця теорема стверджує, що будь-яка несуперечлива формальна система, що досить багата, щоб утримувати теорію чисел, обов'язково містить нерозв'язне пропозицію, тобто твердження, яке неможливо ні довести, ні спростувати в її рамках. Тепер загальновизнано, що абсолютного докази в математиці не існує. Щодо того, що такий доказ, думки розходяться. Однак більшість математиків схильне вважати, що проблеми основ математики є філософськими. І дійсно, жодна теорема не змінилася внаслідок знову знайдених логічно суворих структур; це показує, що в основі математики лежить не логіка, а здорова інтуїція. 

Гильберт
bottom of page